Điểm chính của bài viết

  • Trong ba cánh cửa có một chiếc xe hơi mới, hai cánh còn lại là dê.

  • Người chơi trước hết chọn một cánh cửa.

  • Người dẫn chương trình (người biết rõ nội dung các cửa) luôn mở đúng một cánh cửa có dê.

  • Sau đó người chơi phải quyết định giữ nguyên lựa chọn ban đầu hay đổi sang “cánh cửa đóng còn lại”.

  • Kết luận rất rõ ràng: đổi cửa mang lại lợi thế áp đảo (tỷ lệ thắng 2/3).

  • Bài viết đi cùng một công cụ mô phỏng trong trình duyệt để bạn “nhìn” và cảm nhận xác suất đi ngược trực giác này.

Mở đầu

“Tôi chắc mẩm mình đúng, nhưng đáp án toán học lại hoàn toàn khác” — bạn đã từng có cảm giác đó chưa? Bài toán Monty Hall chính là ví dụ kinh điển nơi trực giác đối đầu trực tiếp với lập luận.

Tác giả từng tin rằng “dù chọn thế nào thì xác suất cũng là 1/2” và rất khó chấp nhận kết quả khác. Mãi đến khi chạy hàng nghìn lần thử trên Excel và thấy xác suất hội tụ về 2/3, tác giả mới thực sự thấu hiểu. Bài viết này tái hiện lại trải nghiệm đó, đồng thời giới thiệu một trình mô phỏng chạy thuần trong trình duyệt để ai cũng có thể quan sát trực quan.

Luật chơi (phiên bản 3 cửa)

  • Giả sử sau ba cánh cửa là [một chiếc xe hơi mới và hai con dê].
  • Người chơi chọn một trong ba cánh cửa.
  • Người dẫn chương trình, người biết toàn bộ đáp án, chắc chắn mở một cánh cửa có dê trong số còn lại.
  • Khi đó trước người chơi chỉ còn “cửa đã chọn” và “cửa đóng còn lại”.
  • Cuối cùng, người chơi phải quyết định giữ nguyên hay đổi sang cửa kia.

Vì sao trực giác sai lệch?

Nhiều người nghĩ đơn giản: “Còn hai cửa thì xác suất mỗi cửa là 1/2”. Đó là một hiểu lầm lớn.

  • Xác suất chọn trúng xe ngay từ đầu chỉ là 1/3.
  • Trong khi đó, xác suất bạn chọn phải dê lúc đầu là 2/3.
  • Người dẫn chương trình luôn mở đúng một cửa chứa dê, vì vậy xác suất 2/3 dồn hết về cánh cửa đóng còn lại.
  • Vì thế, nếu giữ nguyên bạn chỉ có 1/3 cơ hội, còn đổi cửa sẽ có 2/3, tức là lợi thế gấp đôi.

Hiểu bằng cây trường hợp

Vẽ cây trường hợp giúp hình dung còn rõ hơn.

  1. Nếu ban đầu chọn đúng “cửa thắng” (xác suất 1/3)

    • Người dẫn chương trình mở một cửa có dê.
    • Đổi cửa lúc này sẽ chuyển sang cửa thua và bạn thất bại.

  2. Nếu ban đầu chọn “cửa thua” (xác suất 2/3)

    • Người dẫn chương trình chắc chắn mở một cửa có dê sao cho cửa thắng vẫn đóng.
    • Vì vậy đổi cửa sẽ đưa bạn đến cánh cửa có xe và giành chiến thắng.

Kết luận, đổi cửa mang lại xác suất 2/3, còn giữ nguyên chỉ còn 1/3.

Mở rộng sang N cửa

Lý luận tương tự áp dụng được cho mọi số lượng cửa N.

  • Khi có N cửa:
    • Giữ nguyên lựa chọn thì xác suất thắng là 1/N
    • Đổi cửa thì xác suất thắng là (N−1)/N

Giả sử có 100 cửa. Xác suất chọn đúng xe ngay từ đầu chỉ là 1/100. Ngược lại, bạn gần như chắc chắn (99/100) chọn nhầm dê, người dẫn chương trình mở 98 cửa còn lại và đảm bảo để cửa có xe vẫn đóng, nên cánh cửa cuối cùng gom đủ 99/100 xác suất. Nhìn vào ví dụ này sẽ thấy chiến lược đổi cửa áp đảo đến mức nào.

“Nhìn và hiểu” bằng Excel và trình duyệt

Chạy hàng nghìn mô phỏng trong Excel cho thấy tỷ lệ thắng khi đổi cửa dần tiến tới 66,6 %, hoàn toàn trùng khớp với lý thuyết.

Nhưng chỉ nhìn con số thì khó phá vỡ cảm giác trực giác. Vì vậy bài viết còn giới thiệu một công cụ chạy thuần trình duyệt.

Tính năng của trình mô phỏng

  • Chế độ chơi tay cho phép bạn tự chọn cửa và xem người dẫn chương trình mở cửa như thế nào.
  • Chế độ mô phỏng tự động thực hiện hàng chục nghìn lượt thử trong nháy mắt và cho thấy xác suất hội tụ ra sao.
  • Thiết lập N cửa (3–10 cửa) giúp bạn cảm nhận bài toán tổng quát.
  • Biểu đồ trực quan để so sánh tỷ lệ thắng của từng chiến lược.

Nhờ kết hợp đồng thời “cảm giác” và “thống kê”, bản chất bài toán Monty Hall sẽ hiện lên rất rõ ràng.

Phản biện thường gặp và lưu ý

  • Nếu người dẫn chương trình không biết đáp án và mở cửa ngẫu nhiên → Anh ta có thể mở nhầm cửa có xe, khi đó bài toán trở thành một tình huống khác hoàn toàn.

  • Nếu người dẫn chương trình tuân theo luật riêng → Miễn là người chơi biết rõ luật đó, xác suất có điều kiện có thể thay đổi.

  • “Còn hai cửa thì chẳng phải mỗi cửa 1/2 sao?” → Việc người dẫn chương trình hành động đã cung cấp thêm thông tin: hai cửa không hề cân bằng. Một cửa chứa xe với xác suất 1/3, cửa còn lại là 2/3.

Tổng kết

  • Bài toán Monty Hall dễ khiến trực giác sai lệch nhưng lại cực kỳ sáng tỏ khi phân tích bằng lập luận xác suất.
  • Khi tính cả thông tin người dẫn chương trình cung cấp, chiến lược đổi cửa luôn vượt trội.
  • Các phép thử thống kê trong Excel và trình mô phỏng chạy trên trình duyệt giúp kết hợp số liệu với trải nghiệm, từ đó hiểu sâu hơn.

Hãy tự tay thử nghiệm và dung hòa trực giác với toán học. Truy cập công cụ tại đây → Monty Hall Simulator

Phụ lục (trích lại ghi chú cũ)

Sau khi chạy mô phỏng trong Excel vô số lần, tác giả cảm nhận rằng “đổi cửa” gần như tương đương với việc ban đầu chọn hai cửa cùng lúc. Trực giác này là nền tảng cho bài viết.

Một mẩu chuyện thú vị: cuối những năm 1980 tại Mỹ, bài toán trở nên nổi tiếng nhờ chuyên mục trên tạp chí Parade. Tòa soạn nhận hơn mười nghìn lá thư, phần lớn khẳng định xác suất phải là 1/2 và 1/2. Ngay cả giáo sư, nhà nghiên cứu, chuyên gia thống kê cũng gửi thư phản đối — tức là ngay cả người am hiểu cũng dễ bị trực giác đánh lừa.

Câu chuyện đó nhắc chúng ta rằng bài toán Monty Hall phơi bày giới hạn của trực giác và đề cao tư duy logic chặt chẽ.