用模擬徹底檢證蒙提霍爾問題：親眼看見與直覺相反的機率
本文重點
三扇門之中，1 扇藏著豪華新車，另外 2 扇藏著空獎的山羊。
玩家先挑選其中 1 扇門。
隨後主持人（知道所有門內狀況的人）一定會打開 1 扇空獎的門給玩家看。
然後玩家必須決定，要維持原本的選擇，還是改挑「剩下那扇仍未打開的門」。
結論相當明確：改換選擇才是壓倒性有利（勝率 2/3）。
文章搭配可在瀏覽器操作的模擬工具，讓你用「眼睛看到」這個違反直覺的機率，並真正理解為何如此。
前言
你是否也曾經有過「自己覺得這樣才對，可是數學答案偏偏完全不同」的經驗？ 蒙提霍爾問題正是直覺與邏輯正面衝突的典型案例。
筆者當年也一直以為「最後只剩兩扇門，機率應該各半吧」，怎麼想都不服氣。 於是用 Excel 跑了數千次模擬，看著勝率逐漸收斂到 2/3，才終於釋懷。 這回我們重新整理當時的筆記，並且更進一步公開一個任何人都能在瀏覽器上操作的模擬器。
題目的規則（三扇門版本）
- 在三扇門背後，[設定 1 扇有新車、另外 2 扇是山羊（空獎）]。
- 玩家先從三扇門中挑 1 扇。
- 接著，完全掌握門內狀況的主持人，會從剩下的兩扇中必定打開 1 扇空獎。
- 結果玩家面前會剩下「原本挑的那扇」和「另一扇仍關著的門」兩個選項。
- 最後，玩家必須決定「維持原本選擇」還是「改換到另外那扇門」。
為什麼直覺會失靈？
多數人會想：「既然最後剩兩扇門，那當然各有 1/2 機率。」 這就是最大的誤解。
- 一開始就選中獎品的機率，其實只有 1/3。
- 相對地，一開始挑到空獎的機率有 2/3。
- 主持人一定會打開 1 扇空獎門，於是剩下那扇沒被打開的門，就承接了 2/3 的中獎機率。
- 因此維持原選擇的勝率是 1/3，改換到另一扇門的勝率則是 2/3，也就是換門更有利兩倍。
用樹狀圖拆解
如果用樹狀圖分情況討論，就更加清楚了。
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如果一開始就選到「中獎門」（機率 1/3）
- 主持人會打開一扇山羊門。
- 這時候如果你換門，就會換到空獎而輸掉。
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如果一開始選到「空獎門」（機率 2/3）
- 主持人必然留下中獎門不打開。
- 於是你只要換門，就會換到中獎而獲勝。
結果很明顯：換門的勝率 2/3，不換門的勝率 1/3。
推廣到 N 扇門
蒙提霍爾問題不只三扇門，也可以擴充到 N 扇門的情境。
- 當門的數量是 N：
- 維持最初選擇的勝率是 1/N。
- 最後換門的勝率是 (N−1)/N。
想像有 100 扇門。 你一開始挑中獎門的機率只有 1/100。 而挑到空獎的機率有 99/100，主持人會打開其中 98 扇把空獎清掉，確保中獎門留下來。 因此剩下的那扇門就有 99/100 的機率藏著獎品。 想到這個例子，就能更直觀地理解「換門絕對有利」。
用 Excel 和瀏覽器「看著理解」
在 Excel 裡執行數千次模擬，可以看到換門策略的勝率慢慢趨近 66.6%，完全符合理論。
但光是數字不容易留下印象。 所以這次我們公開了一個純瀏覽器就能運作的專用工具。
模擬器亮點
- 手動體驗模式：親自選門，看主持人開門的演出。
- 自動模擬模式：幾秒內就能跑上萬次試驗，觀察勝率如何收斂。
- 支援 N 扇門設定（3〜10）：直接體驗一般化之後的情境。
- 勝率圖表：把不同策略的勝率用圖形對比呈現。
同時感受「直覺」與「統計」，蒙提霍爾問題的本質就會愈來愈清晰。
常見反駁與注意事項
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如果主持人也是隨機開門、甚至不知道獎品在哪？ → 這樣他可能會誤開獎品，問題設定就完全變了。
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如果主持人遵循別的規則開門？ → 只要玩家知道主持人的規則，條件機率就可能被改寫。
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「最後只剩兩扇門，難道不是各 1/2？」的迷思 → 主持人的行為本身就是資訊，兩扇門並不對稱。 一扇的中獎機率是 1/3，另一扇則是 2/3。
小結
- 蒙提霍爾問題是個容易讓直覺誤判、但邏輯推理又異常單純的機率題。
- 把主持人提供的資訊納入考量，就能證明**「換門」策略永遠更有利**。
- 無論是 Excel 的統計模擬，還是本文提供的瀏覽器模擬器，都能從數字與體驗兩個角度加深理解。
不妨親自動手試試，跨越感覺與理論的落差。 模擬器入口在此 → Monty Hall 模擬器
附記（重新整理當年的備忘）
筆者當年瘋狂用 Excel 重複試驗時，突然領悟到：「換門這個動作，其實等於一開始就挑了兩扇門。」 本文就是根據那份體會重新編輯與擴充而成。
有趣的是，蒙提霍爾問題在 1980 年代後期於美國爆紅時，曾在雜誌 Parade 上引發軒然大波。 編輯部收到超過一萬封來信，其中大多數都堅信「勝率各半」。 甚至有大學教授、研究員、統計學者寫信抗議，可見連專家都會被直覺牽著走而得出錯誤結論。
這段插曲充分說明，蒙提霍爾問題如何背叛人類的直覺，同時提醒我們邏輯思考的重要性。