মন্টি হল সমস্যা সিমুলেশনে উন্মোচন: চোখে দেখে বুঝুন কেন দরজা বদলানোই জেতায়
এই নিবন্ধের সারাংশ
তিনটি দরজার মধ্যে একটি তে নতুন গাড়ি, বাকি দুটি তে “ছাগল” নামে ব্যর্থ পুরস্কার লুকানো।
খেলোয়াড় প্রথমে একটি দরজা বেছে নেয়।
উপস্থাপক (প্রতিটি দরজার ভেতরের তথ্য জানা ব্যক্তি) সবসময় একটি ব্যর্থ দরজা খুলে দেখান।
তারপর খেলোয়াড়কে সিদ্ধান্ত নিতে হয়—“আগের নির্বাচন রাখব নাকি বাকি একমাত্র বন্ধ দরজায় বদলাব?”
ফল স্পষ্ট: দরজা বদলানোয় জয়ের হার ২/৩।
এখানে দেওয়া সিমুলেটরের সাহায্যে এই বিরুদ্ধধর্মী প্রবাবিলিটি চোখে দেখবেন, অনুভব করবেন এবং বিশ্বাস করবেন।
ভূমিকা
“আমার অনুভূতিতে সঠিক মনে হলেও গণিতের উত্তর সম্পূর্ণ আলাদা”—এ অভিজ্ঞতা কি আপনার হয়েছে? মন্টি হল সমস্যা অনুভূতি ও যুক্তির এই সরাসরি সংঘর্ষের সেরা উদাহরণ।
আমিও একসময় ভাবতাম “শেষে দুটি দরজা থাকলে তো দুটোই ১/২”; ফল মেনে নিতে পারতাম না। পরে Excel-এ হাজারো ট্রায়াল চালিয়ে দেখলাম পরিবর্তিত কৌশলের জয়ের হার ২/৩-এ গিয়ে স্থির হয়। এবার সেই অভিজ্ঞতাকে পুনর্গঠন করে, আরও এগিয়ে যে-কেউ ব্রাউজারে সঙ্গে সঙ্গে চালাতে পারবেন এমন সিমুলেটর প্রকাশ করছি।
এই ধাঁধার নাম এসেছে উপস্থাপক মন্টি হল থেকে—আমেরিকান টিভি শো Let’s Make a Deal-এর সেই ক্যনাডিয়ান-আমেরিকান হোস্ট, যার মঞ্চে ছাগল দেখানোর নাটকই এই ধারণা তৈরি করে।
নিয়ম (৩ দরজা সংস্করণ)
- তিনটি দরজার পিছনে [একটিতে গাড়ি, বাকি দুটিতে ছাগল] থাকে।
- খেলোয়াড় প্রথমে যেকোনো একটি দরজা বেছে নেয়।
- সবকিছু জানা উপস্থাপক সবসময় বাকি দরজার মধ্যে একটি ছাগল-দরজা খুলে দেন।
- ফলে সামনে থাকে দুটি দরজা—প্রথম নির্বাচিতটি ও অপর এখনো বন্ধ দরজা।
- শেষ সিদ্ধান্ত: “থাকব” না “বদলাব”?
কেন অনুভূতি ভুল পথে যায়?
অনেকেই যুক্তি দেয়—“শেষে দুই দরজা, তাই ১/২ করে ভাগ।” বড় ভুল।
- প্রথম নির্বাচনে গাড়ি পাওয়ার সম্ভাবনা মাত্র ১/৩।
- অর্থাৎ প্রথমে ছাগল বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা ২/৩।
- উপস্থাপক নিশ্চিতভাবে ছাগল দরজা খুলে দেওয়ায় অবশিষ্ট দরজায় ২/৩ সম্ভাবনা সঞ্চিত হয়।
- ফলে, প্রথম দরজা ধরে রাখলে জয়ের হার ১/৩, আর বদলালে ২/৩—অর্থাৎ বদলানো দ্বিগুণ লাভজনক।
সিদ্ধান্ত বৃক্ষ দিয়ে বোঝা
সিদ্ধান্ত বৃক্ষে ঘটনাগুলো ভেঙে দেখলে আরও স্পষ্ট হয়।
-
প্রথমেই “গাড়ি” বেছে নেওয়া হলে (সম্ভাবনা ১/৩)
- উপস্থাপক ছাগল দরজা খোলে।
- তখন দরজা বদলালে ছাগলে চলে যাবেন—হার।
-
প্রথমেই “ছাগল” বেছে নিলে (সম্ভাবনা ২/৩)
- উপস্থাপক সবসময় গাড়ি রেখে ছাগলই খোলে।
- দরজা বদলালেই গাড়িতে পৌঁছাবেন—জয়।
মোট ফল: দরজা বদলে জিতবেন ২/৩ বার, বদল না করলে জিতবেন ১/৩ বার।
N দরজায় সাধারণীকরণ
এই যুক্তি তিন দরজায় সীমিত নয়।
- যদি দরজা N টি হয়:
- “থাকব” কৌশলের জয়ের হার ১/N
- শেষ মুহূর্তে বদলালে জয়ের সম্ভাবনা (N−1)/N
ধরা যাক ১০০ দরজা আছে। প্রথমেই গাড়ি পাওয়ার সম্ভাবনা মাত্র ১/১০০। উপস্থাপক (সব জানেন) ৯৮টি ছাগল দরজা খুলে একটিকে রেখে দিলে সেই এক দরজায় এখন ৯৯/১০০ সম্ভাবনা জমা হয়। বদলানোর কৌশল কতটা লাভজনক তা এখন চোখেই বোঝা যায়।
Excel ও ব্রাউজারে “দেখে বুঝুন”
Excel-এ হাজার হাজার ট্রায়াল চালালে দেখা যায় দরজা বদলানোর কৌশলের জয়ের হার ধীরে ধীরে ৬৬.৬%-এ পৌঁছায়—তত্ত্বের সঙ্গে মিলে যায়।
কিন্তু সংখ্যায় অনুভূতি তৈরি হয় না। তাই এই নিবন্ধে ব্রাউজারে চলা বিশেষ সিমুলেটর প্রকাশ করেছি।
সিমুলেটরের বৈশিষ্ট্য
- ম্যানুয়াল মোড: নিজে দরজা বেছে উপস্থাপকের খোলা দেখুন।
- স্বয়ংক্রিয় সিমুলেশন: দশ হাজারের বেশি ট্রায়াল মুহূর্তে চালিয়ে সম্ভাবনা কীভাবে স্থিতিশীল হয় দেখুন।
- N দরজা সেটিং (৩–১০ দরজা): সাধারণীকৃত সমস্যা অনুধাবন করুন।
- গ্রাফ: প্রতিটি কৌশলের জয়ের হার তাৎক্ষণিক চিত্রে তুলনা।
অনুভূতি ও পরিসংখ্যান একই সঙ্গে অভিজ্ঞতা করলে মন্টি হল সমস্যার মূল বার্তা অনেক পরিষ্কার হয়।
প্রচলিত আপত্তি ও সতর্কতা
-
উপস্থাপক যদি ভিতরের তথ্য না জানেন এবং এলোমেলো দরজা খোলেন? → গাড়ি ভুল করে খুলে ফেলার সম্ভাবনা থাকে—সেটি অন্য সমস্যা।
-
উপস্থাপক যদি বিশেষ নিয়ম মেনে দরজা খোলেন? → সেই নিয়ম খেলোয়াড় জানলে শর্তাধীন সম্ভাবনা বদলাতে পারে।
-
“শেষে দুই দরজা, তাই অবশ্যই ১/২”—এই ভুল → উপস্থাপকের কর্মকান্ডই তথ্য যোগ করে। দুটি দরজা সমান নয়—একটিতে ১/৩, অন্যটিতে ২/৩ সম্ভাবনা থাকে।
সারসংক্ষেপ
- মন্টি হল সমস্যা অবিশ্বাস্যভাবে সহজ, তবু অনুভূতিকে ধোঁকা দেয়।
- উপস্থাপকের খোলা দরজার তথ্য বিবেচনা করলেই বোঝা যায় দরজা বদলানো সর্বদা সুবিধাজনক।
- Excel পরীক্ষা ও এখানে দেওয়া ব্রাউজার সিমুলেটর একসঙ্গে ব্যবহার করলে সংখ্যা ও অভিজ্ঞতা—দু’দিক থেকে বোঝা গভীর হবে।
নিজে চেষ্টা করুন → Monty Hall Simulator
পরিশিষ্ট (পুরনো নোট পুনঃপ্রকাশ)
Excel-এ বহুবার চেষ্টা করতে করতে আমার মাথায় এসেছিল—“দরজা বদলানো মানে শুরুতেই দুটি দরজা বেছে নেওয়ার সমান।” সেই উপলব্ধিই আসলভাবে গ্রহণ করতে সাহায্য করে। এই নিবন্ধ সেই পুরনো নোটের পুনঃসম্পাদিত, সম্প্রসারিত সংস্করণ।
এই সমস্যা ১৯৮০-এর দশকের শেষভাগে আমেরিকায় আলোচনায় আসে। ম্যাগাজিন Parade-এ ছাপা হলে সম্পাদকীয় বিভাগে ১০,০০০-র বেশি চিঠি আসে, অধিকাংশই বলেছিল “দু’দিকেই ১/২ হওয়া উচিত।” বিশ্ববিদ্যালয় অধ্যাপক বা পরিসংখ্যানবিদের শত শত আপত্তিও ছিল—প্রমাণ যে শো-এর মতো ফ্রেমিং মানুষকে অনুভূতির কাছে হার মানায়।
এই ঘটনাই দেখায়, মন্টি হল সমস্যা মানুষকে কীভাবে বোকা বানায় এবং কেন কঠোর যুক্তি এত গুরুত্বপূর্ণ।