模拟并彻底检验蒙提霍尔问题：用“亲眼所见”理解违背直觉的概率
文章要点
三扇门中只有一扇藏着全新的跑车，其余两扇背后都是山羊。
玩家首先选择一扇门。
随后主持人（完全知晓所有门后内容）一定会打开一扇有山羊的门。
接着玩家必须在“保持原选择”与“换到另一扇仍然关闭的门”之间做决定。
结论十分明确：换门的胜率远高于原地不动（胜率为 2/3）。
文章配合浏览器端模拟器，让你**“看见”并体会**这类违背直觉的概率现象。
引言
“我直觉觉得没错，可数学答案却完全不同”——你是否也有过这样的经历？ 蒙提霍尔问题正是直觉与逻辑正面冲突的代表例子。
作者当年也坚信“无论怎样选，概率都是 1/2”，因此迟迟无法释怀。直到在 Excel 中运行了上千次实验，看到胜率逐渐收敛到 2/3，才彻底理解。 本文在此基础上更进一步，提供了一个可直接在浏览器中体验的模拟器，帮助任何人都能直观感受。
规则（3 扇门版本）
- 三扇门背后的设定是：[一扇门后是新车，其余两扇是山羊]。
- 玩家首先从中挑选一扇门。
- 主持人掌握所有信息，一定会在剩余两扇门里打开一扇有山羊的门。
- 因此玩家面前只剩下“最初选择的门”与“另一扇仍关闭的门”。
- 最后，玩家需要决定是坚持原选择还是换到剩余那扇门。
为什么直觉会出错？
很多人认为：“最后只剩两扇门，各有 1/2 的概率。” 这其实是误解。
- 一开始就选中新车的概率只有 1/3。
- 相对地，选到山羊的概率高达 2/3。
- 主持人始终只会打开一扇有山羊的门，因此剩下那扇关闭的门会承接 2/3 的概率。
- 结果是：不换门的胜率仍旧只有 1/3，而换门的胜率是 2/3，也就是优势翻倍。
用树状图理解
通过树状图分支来分析，会更加直观。
-
如果一开始选中“中奖门”（概率 1/3）
- 主持人会打开其中一扇山羊门。
- 此时换门会错过奖品，因而失败。
-
如果一开始选中“山羊门”（概率 2/3）
- 主持人会刻意打开另一扇山羊门，保留中奖门。
- 因此选择换门就会转向中奖门，从而获胜。
结论显而易见：换门的胜率是 2/3，而坚守原选仅为 1/3。
推广到 N 扇门
上述逻辑不仅适用于三扇门，也可以推广到任意 N。
- 当有 N 扇门时：
- 不换门的胜率是 1/N
- 换门的胜率是 (N−1)/N
设想共有 100 扇门。 玩家最初就选中汽车的概率只有 1/100。 而选到山羊的概率高达 99/100，主持人会在其余 99 扇门中打开 98 扇山羊门，确保奖品留下，最终那扇仍关闭的门上就累积了 99/100 的概率。 这样一想，就能更直观地体会到“换门”策略为何压倒性占优。
通过 Excel 与浏览器“眼见为实”
在 Excel 里运行上千次模拟，可以看到换门策略的胜率逐步逼近 66.6 %，与理论完全一致。
然而仅凭数字仍难以打破直觉上的阻力。 因此我们提供了一个纯浏览器实现的专用工具。
模拟器特点
- 手动模式允许你亲自选门，观察主持人开门的过程。
- 自动模拟模式瞬间运行上万次实验，展示胜率如何收敛。
- 支持 N 扇门设置（3～10 扇），帮助理解一般化的情形。
- 内置图表可以直观比较不同策略的胜率曲线。
这样便能同时兼顾“直觉体验”与“统计证据”，更加清晰地把握蒙提霍尔问题的本质。
常见反驳与注意事项
-
如果主持人不知情而随机开门 → 他可能误开中奖门，此时问题就变成了另一种情形。
-
如果主持人遵循独特的规则 → 只要玩家清楚这些规则，条件概率就可能发生变化。
-
“最后剩下两扇门，不就是各 1/2 吗？” → 主持人的行为本身就是信息，使得两扇门并不对称：一扇的中奖概率是 1/3，另一扇则是 2/3。
总结
- 蒙提霍尔问题是一个容易误导直觉，却在逻辑上极其清晰的概率问题。
- 把主持人提供的信息纳入考虑后，“换门”始终是更优策略。
- 借助 Excel 的统计模拟与本文提供的浏览器工具，可以同时从数字与体验两方面深化理解。
动手试试看吧，让直觉与数学达成和解。 模拟器入口 → Monty Hall Simulator
附记（旧笔记再整理）
作者当年在 Excel 中反复模拟时，逐渐形成一种直觉：换门几乎等同于一开始同时挑两扇门。本文正是基于这种体会重新编辑扩展而成。
一个有趣的历史轶事：20 世纪 80 年代末的美国，蒙提霍尔问题因杂志 Parade 的专栏而广为人知。编辑部收到逾一万封来信，大多数人坚持认为概率应该是 1/2 对 1/2。甚至有不少大学教授、研究人员和统计学家写信抗议，可见即使专家也会被直觉牵着走。
这段故事提醒我们，蒙提霍尔问题尖锐地揭示了人类直觉的局限，也凸显严谨推理的价值。