Ключевые идеи статьи

  • Из трёх дверей одна скрывает роскошный автомобиль, а за двумя другими прячутся козы.

  • Игрок сперва выбирает одну дверь.

  • Затем ведущий (человек, который знает содержимое всех дверей) всегда открывает ровно одну проигрышную дверь.

  • После этого игроку предлагают оставить свой первоначальный выбор или переключиться на «единственную оставшуюся закрытую дверь».

  • Вывод однозначен: смена выбора даёт подавляющее преимущество (вероятность выигрыша 2/3).

  • В этой статье мы шаг за шагом объясняем парадоксальную вероятность, параллельно наблюдая за браузерным симулятором, чтобы её «увидеть» и прочувствовать.

Введение

«Мне кажется, что ответ очевиден, но математика говорит об обратном» — сталкивались ли вы с подобным ощущением? Задача Монти Холла — классический пример того, как интуиция и логика вступают в прямой конфликт.

Автор статьи тоже когда-то был уверен: «какая разница, шанс всё равно 1/2». Понять истинный результат удалось лишь после того, как он запустил тысячи попыток в Excel и увидел, как вероятность постепенно сходится к 2/3. Здесь мы переосмысливаем тот опыт и добавляем симулятор, который работает прямо в браузере и делает процесс полностью наглядным.

Правила задачи (вариант с тремя дверями)

  • За тремя дверями скрыто следующее: [за одной — новый автомобиль, за двумя — козы].
  • Игрок сначала выбирает любую из трёх дверей.
  • Ведущий, который знает содержимое всех дверей, обязательно открывает одну проигрышную дверь из оставшихся.
  • В итоге у игрока остаётся выбор между «первоначальной дверью» и «ещё одной закрытой дверью».
  • Наконец, игроку нужно решить: оставить изначальный выбор или переключиться на оставшуюся дверь.

Почему нас подводит интуиция?

Многие рассуждают так: «В конце остаются две двери, значит шансы 1/2». Но это серьёзное заблуждение.

  • Вероятность того, что вы угадали автомобиль сразу, составляет лишь 1/3.
  • Зато вероятность изначально выбрать козу равна 2/3.
  • Ведущий всегда открывает ровно одну проигрышную дверь, поэтому на последней закрытой двери накапливается вероятность 2/3.
  • Следовательно, если не менять свой выбор, шанс победы остаётся 1/3, а при смене двери — 2/3, то есть выигрышность удваивается.

Разбор через дерево случаев

Развёрнутая схема по дереву событий делает картину ещё понятнее.

  1. Если сначала выбрана «выигрышная» дверь (вероятность 1/3)

    • Ведущий открывает одну из дверей с козой.
    • Если после этого сменить выбор, вы перейдёте на проигрышную дверь и проиграете.

  2. Если сначала выбрана «проигрышная» дверь (вероятность 2/3)

    • Ведущий обязательно открывает дверь с козой так, чтобы «выигрышная» осталась закрытой.
    • Поэтому смена выбора переводит вас на выигрыш и гарантирует победу.

В результате смена двери приносит шанс 2/3, а сохранение выбора — лишь 1/3.

Обобщение на N дверей

Эта логика работает не только для трёх дверей — её можно распространить на любое число N.

  • Если дверей N, то:
    • Вероятность выиграть, не меняя выбор, равна 1/N
    • Вероятность победы при смене выбора — (N−1)/N

Представьте, что дверей 100. Вероятность того, что игрок сразу укажет на автомобиль, всего 1/100. Зато с шансом 99/100 он изначально выбирает козу, ведущий открывает 98 остальных дверей, аккуратно оставляя автомобиль закрытым, и на последней двери концентрируется вероятность 99/100. Этот мысленный эксперимент делает очевидным, почему стратегия смены выбора настолько сильнее.

«Увидеть и понять» в Excel и браузере

Если запустить в Excel тысячи симуляций, доля побед при смене выбора постепенно приближается к 66,6 %. Это полностью совпадает с теорией.

Но одними числами трудно пробить интуитивный барьер. Поэтому в статье представлен специальный инструмент, работающий прямо в браузере.

Особенности симулятора

  • Режим ручной игры позволяет лично выбрать двери и наблюдать, как ведущий открывает одну из них.
  • Режим автоматической симуляции выполняет десятки тысяч прогонов за мгновения и показывает, как статистика сходится.
  • Настройка на N дверей (от 3 до 10) помогает интуитивно понять обобщённую задачу.
  • Графики дают возможность визуально сравнить вероятность успеха разных стратегий.

Так мы одновременно обращаемся и к «ощущениям», и к «статистике», благодаря чему суть задачи Монти Холла становится особенно отчётливой.

Частые возражения и важные оговорки

  • Если ведущий не знает содержимое и открывает двери случайно → Он может случайно открыть автомобиль, и тогда задача превращается в совсем другую.

  • Если ведущий следует собственным правилам → При условии, что игрок знает эти правила, условная вероятность может измениться.

  • «Когда остаются две двери, разве шансы не 1/2?» → На самом деле сам факт действий ведущего несёт информацию: двери неравноправны. Одна из них содержит выигрыш с вероятностью 1/3, другая — с вероятностью 2/3.

Итоги

  • Задача Монти Холла — контринтуитивная, но логически прозрачная вероятность, если разобрать её шаг за шагом.
  • С учётом информации от ведущего стратегия смены двери всегда даёт преимущество.
  • Статистический эксперимент в Excel и предложенный браузерный симулятор помогают совместить числа и личный опыт, чтобы глубже понять феномен.

Попробуйте сами — так вы примирите интуицию с математикой. Инструмент доступен здесь → Monty Hall Simulator

Послесловие (по мотивам старых заметок)

Когда автор многократно гонял симуляции в Excel, он наконец почувствовал, что «сменить дверь» почти равнозначно тому, чтобы изначально выбрать сразу две двери. Эта интуиция и легла в основу статьи.

Интересный исторический штрих: в конце 1980-х в США задача стала знаменитой благодаря колонке в журнале Parade. Редакция получила свыше десяти тысяч писем, и большинство из них настаивали, что шансы «два к одному», то есть 1/2 и 1/2. Среди авторов возмущённых писем были профессора, исследователи и статистики: даже эксперты нередко попадались в ловушку интуиции.

Этот эпизод наглядно показывает, как задача Монти Холла обнажает слабости человеческой интуиции и напоминает о важности строгого рассуждения.