Punctele cheie ale articolului

  • Din trei uși, una ascunde o mașină nouă, iar celelalte două au capre drept premii de consolare.

  • Jucătorul alege mai întâi o ușă.

  • Gazda—modelată după Monty Hall, prezentatorul emisiunii americane Let’s Make a Deal, care știe ce se află în spatele fiecărei uși—deschide întotdeauna exact o ușă pierzătoare.

  • Jucătorul trebuie apoi să decidă dacă rămâne la alegerea inițială sau schimbă pe singura ușă rămasă închisă.

  • Concluzia este clară: schimbarea ușii este covârșitor avantajoasă (rata de câștig = 2/3).

  • Cu simulatorul prezentat aici poți vedea și simți această probabilitate contraintuitivă până când devine naturală.

Introducere

Ți s-a întâmplat să simți că „intuiția îmi spune răspunsul acesta”, dar matematica să spună contrariul? Problema Monty Hall este confruntarea emblematică dintre intuiție și logică.

Și eu am crezut mult timp că „după ce gazda deschide o ușă, șansele sunt 1/2 oricum”, iar rezultatul mi se părea inacceptabil. Am înțeles abia după ce am rulat mii de simulări în Excel și am privit cum probabilitatea de 2/3 în favoarea schimbării converge. Acest articol reconstruiește acea experiență și merge mai departe oferind un simulator în browser pe care îl poate folosi oricine instantaneu.

Puzzle-ul poartă numele chiar după Monty Hall—gazda canadiano-americană a emisiunii Let’s Make a Deal—ale cărui trucuri cu capre au inspirat scenariul.

Regulile problemei (varianta cu trei uși)

  • În spatele celor trei uși [una ascunde mașina, iar celelalte două ascund capre].
  • Jucătorul alege orice ușă dorește.
  • Gazda, care cunoaște toate rezultatele, deschide întotdeauna una dintre celelalte uși care ascunde o capră.
  • Rămân alegerea inițială și cealaltă ușă încă închisă.
  • Jucătorul decide dacă „rămâne” sau „schimbă”.

De ce ne păcălește intuiția?

Mulți oameni gândesc „după ce rămân doar două uși, șansele trebuie să fie 1/2 fiecare”. Este o neînțelegere majoră.

  • Șansa de a nimeri mașina din prima este doar 1/3.
  • Deci șansa de a nimeri o capră din prima este 2/3.
  • Pentru că gazda dezvăluie întotdeauna o capră, ușa nealeasă rămasă închisă acum acumulează acea probabilitate de 2/3 de a ascunde mașina.
  • Dacă rămâi, câștigi 1/3 din timp; dacă schimbi, câștigi 2/3. Schimbarea este de două ori mai bună.

O decizie privită în arbore

Împărțirea cazurilor într-un arbore decizional clarifică logica.

  1. Dacă ai ales mașina din prima (probabilitate 1/3)

    • Gazda deschide o ușă cu capră.
    • Dacă schimbi, ajungi la o capră și pierzi.

  2. Dacă ai ales o capră din prima (probabilitate 2/3)

    • Gazda lasă deliberat mașina ascunsă și deschide o capră.
    • Dacă schimbi, treci pe mașină și câștigi.

În total, schimbarea câștigă în 2/3 din cazuri, rămânerea câștigă în 1/3.

Extinderea ideii la N uși

Logica nu depinde de numărul de uși.

  • Cu N uși:
    • Rămânerea păstrează rata de câștig inițială de 1/N.
    • Schimbarea la final câștigă cu probabilitatea (N − 1)/N.

Imaginează-ți 100 de uși. Probabilitatea să alegi mașina din prima este doar 1/100. Gazda—din nou un Monty Hall care știe totul—deschide 98 de uși pierzătoare și lasă o singură ușă închisă. Acea ușă are acum 99/100 șanse să ascundă mașina. Este evident că strategia corectă este să schimbi.

„Vederea” în Excel și în browser

Dacă rulezi mii de simulări în Excel, vezi cum strategia de a schimba converge către o rată de câștig de 66,6%, exact ca în teorie.

Cifrele singure pot părea abstracte. De aceea am construit pentru acest articol un instrument care rulează exclusiv în browser.

Puncte forte ale simulatorului

  • Mod manual: alegi ușile singur și urmărești animația cu dezvăluirea gazdei.
  • Mod de auto-simulare: rulează zeci de mii de încercări instant și vizualizează convergența.
  • Setări cu N uși (3–10 uși): generalizează scenariul ca să vezi tiparul.
  • Grafice: compară în timp real ratele de câștig ale fiecărei strategii.

Să experimentezi simultan intuiția și statistica face ca esența problemei Monty Hall să fie mult mai ușor de asimilat.

Obiecții frecvente și avertismente

  • Ce se întâmplă dacă gazda nu știe conținutul și deschide ușile la întâmplare?
    → Atunci poate dezvălui mașina. Devine o problemă complet diferită.

  • Ce se întâmplă dacă gazda urmează o regulă specială pentru alegerea ușii?
    → Dacă jucătorii cunosc regula, probabilitățile condiționate se pot schimba.

  • „După ce rămân două uși, sigur sunt 1/2 fiecare?”
    → Acțiunea gazdei oferă informație. Cele două uși nu sunt simetrice: una ascunde mașina cu probabilitate 1/3, cealaltă cu 2/3.

Rezumat

  • Problema Monty Hall este înșelător de simplă, dar brutal de contraintuitivă.
  • Dacă iei în calcul dezvăluirea gazdei, vezi că schimbarea ușilor domină întotdeauna.
  • Simulările în Excel și simulatorul din browser prezentat aici te ajută să internalizezi matematica atât prin cifre, cât și prin experiență directă.

Încearcă singur → Simulator Monty Hall

Anexă (memoriul original reprodus)

Când repetam experimentul în Excel, am realizat că „a schimba este echivalent cu a fi ales două uși de la început”—abia atunci mi s-a fixat intuiția. Acest articol este o versiune revizuită și extinsă a acelui memoriu vechi.

Este fascinant că puzzle-ul a făcut furori în Statele Unite la sfârșitul anilor ’80. Când revista Parade l-a publicat, editorii au primit peste 10.000 de scrisori insistând că „probabilitatea trebuie să fie 1/2 fiecare”. Printre acestea erau sute de obiecții de la profesori universitari și statisticieni—dovadă că și experții pot fi ademeniți de intuiție când problema seamănă cu un joc TV.

Acest episod arată cât de profund contrazice problema Monty Hall intuiția umană și de ce raționamentul riguros contează.