A cikk lényege

  • Három ajtóból az egyik mögött egy vadonatúj autó, a másik kettő mögött vigaszdíjként kecske lapul.

  • A játékos először kiválaszt egy ajtót.

  • Ezután a műsorvezető – aki tudja, mi van az ajtók mögött – garantáltan kinyit egy vesztes ajtót.

  • A játékosnak végül döntenie kell: marad az eredeti választásnál, vagy átvált a másik, zárva maradt ajtóra.

  • A következtetés kristálytiszta: ajtót váltani messze kifizetődőbb (a nyerési esély 2/3).

  • A cikkhez mellékelt böngészős szimulátorral szemmel láthatóvá válik ez a logikával szembemenő valószínűség.

Bevezetés

Volt már olyan érzésed, hogy „biztosan jól érzem, mégis mást mond a matematika”? A Monty Hall-probléma pont az ilyen intuíció–logika ütközések iskolapéldája.

Régen én is meg voltam győződve arról, hogy „a végén két ajtó marad, tehát 1/2–1/2 az esély”, és nem értettem a választ. Végül úgy fogadtam el, hogy Excelben több ezer futást készítettem, és láttam, ahogy az esély 2/3-ra áll be. Most újraszerkesztettem ezt a tapasztalatot, és tovább is vittem: közzéteszek egy böngészőből futtatható szimulátort, amellyel bárki azonnal kipróbálhatja.

A rejtvény Monty Hall, az amerikai Let’s Make a Deal műsorvezetőjének nevét viseli, aki a színpadon kecskéket leplezett le – innen jött az ötlet.

A feladvány szabályai (három ajtóval)

  • A három ajtó mögött [egyiknél az autó, a másik kettőnél kecske található].
  • A játékos kezdésként kiválaszt egy ajtót.
  • A műsorvezető, aki ismeri a kimeneteket, a maradékból mindig kinyit egy kecskés ajtót.
  • A játékos előtt így az eredeti ajtója és egy zárva maradt ajtó marad.
  • Most dönteni kell: „maradni” vagy „váltani”.

Miért csap be az intuíció?

Sokan gondolják, hogy „ha két ajtó marad, 1/2–1/2 az esély”. Ez súlyos tévedés.

  • Az autó elsőre eltalálásának esélye mindössze 1/3.
  • Ennek megfelelően az első körben kecskét választani 2/3 valószínűség.
  • Mivel a műsorvezető mindig kecskét nyit, a zárva maradt ajtó 2/3 valószínűséggel rejti az autót.
  • Ha maradsz, 1/3 a nyerési esélyed; ha váltasz, 2/3. Az ajtócsere kétszer akkora előny.

Döntési fa, hogy még világosabb legyen

Ha döntési fára bontjuk az eseteket, még szemléletesebb.

  1. Ha elsőre az autót választod (valószínűség 1/3)

    • A műsorvezető kecskés ajtót nyit.
    • Ha váltasz, kecskére lépsz át, tehát veszítesz.

  2. Ha elsőre kecskét választasz (valószínűség 2/3)

    • A műsorvezető úgy nyit kecskét, hogy az autó zárva maradjon.
    • Ha váltasz, az autóra lépsz, tehát nyersz.

Összességében váltani az esetek 2/3-ában nyer, maradni 1/3-ában.

Kiterjesztés N ajtóra

A logika ajtószámtól függetlenül működik.

  • N ajtó esetén:
    • Ha maradsz, a nyerési esély 1/N marad.
    • Ha a végén váltasz, (N−1)/N az esélyed a nyerésre.

Tegyük fel, hogy 100 ajtó van. Annak az esélye, hogy elsőre eltalálod az autót, mindössze 1/100. A maradék 99/100 valószínűséggel kecskét választasz; a műsorvezető 98 ajtót kinyit közülük, és garantáltan bent hagyja az autót. A maradék ajtó így 99/100 valószínűséggel rejti az autót. Ebből már ösztönösen is látszik, mennyire megéri váltani.

Látni Excelben és a böngészőben

Excelben több ezer szimulációt lefuttatva szépen kirajzolódik, hogy a váltós stratégia nyerési aránya 66,6% körül stabilizálódik. Ez pontosan egyezik az elmélettel.

A puszta számok viszont nehezen hatnak a zsigeri érzékelésre. Ezért publikáltam egy teljesen böngészőben futó eszközt.

A szimulátor főbb funkciói

  • A kézi játékmódban te választod az ajtót, a műsorvezető pedig látványosan nyitja ki az egyiket.
  • Az automatikus szimulációs mód több tízezer futást képes egy pillanat alatt lefuttatni, megmutatva, hogyan áll be statisztikailag a nyerési arány.
  • A 3–10 ajtó közötti N ajtós beállítás általánosítja a problémát, és kézzelfoghatóvá teszi.
  • A grafikonok stratégia szerinti nyerési arányokat rajzolnak ki.

Így egyszerre tapasztalhatod meg az „intuíciót” és a „statisztikát”, és sokkal könnyebb megérteni a Monty Hall-probléma lényegét.

Gyakori ellenvetések és apróságok

  • Mi van, ha a műsorvezető nem ismeri az ajtók tartalmát, és véletlenszerűen nyit? → Előfordulhat, hogy véletlenül az autót nyitja ki, ekkor a feladvány teljesen másról szól.

  • Mi van, ha a műsorvezető saját szabályok szerint nyit? → Ha a játékos ismeri ezeket a szabályokat, a feltételes valószínűségek változhatnak.

  • „Ha két ajtó marad, akkor 1/2–1/2!” → Maga a műsorvezetői lépés hordoz információt, ezért a két ajtó nem szimmetrikus. Az egyik 1/3, a másik 2/3 valószínűséggel rejti az autót.

Összefoglalás

  • A Monty Hall-probléma intuícióval könnyen félrevezet, logikával viszont meglepően letisztult.
  • Ha figyelembe vesszük, mit jelent a műsorvezető mozdulata, mindig a váltás a jobb stratégia.
  • Az Excelben végzett szimulációk és a cikkben bemutatott böngészős eszköz egyszerre adnak számokat és élményt a megértéshez.

Próbáld ki saját kézzel, és hidald át a részt, ahol az érzésed ellentmond a matematikának. A szimulátort itt éred el → Monty Hall Simulator

Utóirat (régi jegyzet újra)

Amikor Excelben próbálgattam, arra jutottam, hogy a váltás értéke megegyezik azzal, mintha eleve két ajtóra fogadnál. Ez a cikk ennek a tapasztalatnak a kibővített változata.

Érdekességként: amikor a feladvány az 1980-as évek végén az amerikai Parade magazinban megjelent, több mint tízezer levelet kaptak, és a többség azt bizonygatta, hogy „biztosan 1/2–1/2 az esély”. Egyetemi professzorok, kutatók, statisztikus matematikusok százai is tiltakoztak – vagyis még a szakemberek intuícióját is félrevitte a feladvány.

Ez is mutatja, mennyire képes a Monty Hall-probléma átverni az ösztöneinket, és mennyire fontos a logikus gondolkodás.