मोंटी हॉल समस्या को सिमुलेशन से परखें: अंतर्ज्ञान के विरुद्ध प्रायिकता को देखकर समझें

इस लेख की मुख्य बातें

तीन दरवाज़ों में से एक के पीछे नई कार है, बाकी दो में हार का संकेत यानी बकरी छिपी है।

खिलाड़ी पहले एक दरवाज़ा चुनता है।

इसके बाद मेज़बान (जिसे सभी दरवाज़ों की जानकारी है) हमेशा एक हार वाला दरवाज़ा खोलकर दिखाता है।

फिर खिलाड़ी को तय करना होता है: क्या वह अपनी पहली पसंद बनाए रखे या “बचे हुए दूसरे बंद दरवाज़े” पर स्विच करे।

निष्कर्ष साफ़ है—दरवाज़ा बदलना कहीं अधिक फायदे का सौदा है (जीत की संभावना 2/3)।

इस लेख में हम ब्राउज़र में चलने वाले सिमुलेशन टूल के साथ-साथ, इस अंतर्ज्ञान-विरोधी प्रायिकता को “देखें”, “महसूस करें” और आश्वस्त हों, इस तरह समझाएँगे।

प्रस्तावना

“अंतर्ज्ञान कहता है कि यह सही है, लेकिन गणितीय उत्तर बिल्कुल अलग”—क्या आपने ऐसा अनुभव किया है? मोंटी हॉल समस्या इसी तरह अंतर्ज्ञान और तर्क के टकराव का प्रतिनिधि उदाहरण है।

मैं स्वयं भी लंबे समय तक यही मान बैठा था कि “दो दरवाज़े बचे हैं, इसलिए संभावना 1/2-1/2 ही होगी”, और परिणाम पर भरोसा नहीं कर पाता था। तब मैंने Excel में हज़ारों बार प्रयास चलाकर देखा; अंततः जब परिणाम 2/3 पर सिमटने लगे तो समझ आया। इस लेख में उस अनुभव को पुनर्गठित कर, और आगे बढ़ते हुए ब्राउज़र में कोई भी सहज रूप से चला सके ऐसा सिमुलेटर भी साझा किया गया है।

समस्या के नियम (3-दरवाज़ा संस्करण)

मान लें कि तीन दरवाज़ों में से एक के पीछे नई कार है और बाकी दो के पीछे बकरी (हार का संकेत) है।
खिलाड़ी पहले इन तीन दरवाज़ों में से कोई एक चुनता है।
मेज़बान, जो सभी दरवाज़ों का अंदरूनी राज़ जानता है, हमेशा बाकी बचे दो में से एक हार वाला दरवाज़ा खोलता है।
अब खिलाड़ी के सामने दो विकल्प बचते हैं: “पहली पसंद वाला दरवाज़ा” और “अभी तक बंद बचा हुआ दरवाज़ा”।
अंतिम निर्णय: क्या पहली पसंद बनाए रखी जाए या बचे हुए दरवाज़े पर स्विच किया जाए?

अंतर्ज्ञान क्यों चूकता है?

अधिकतर लोग सोचते हैं कि “अंत में दो दरवाज़े बचते हैं, इसलिए दोनों की संभावना 1/2-1/2 ही होगी”। लेकिन यह बड़ा भ्रम है।

शुरुआती चरण में “कार चुनने” की संभावना मात्र 1/3 है।
इसके विपरीत “गलत दरवाज़ा चुनने” की संभावना 2/3 है।
मेज़बान हमेशा एक हार वाला दरवाज़ा खोलता है, इसलिए बचा हुआ दरवाज़ा 2/3 संभावना के साथ कार वाला बन जाता है।
इसलिए, पहली पसंद पर अटल रहने की जीत की संभावना 1/3 है, जबकि स्विच करने पर 2/3। यानी दरवाज़ा बदलना दो गुना लाभकारी रणनीति है।

वृक्ष संरचना से समझें

यदि सभी संभावित स्थितियों को वृक्ष संरचना से विभाजित करें तो चित्र और साफ़ हो जाता है।

यदि खिलाड़ी ने शुरुआत में “कार” चुनी (संभावना 1/3)
- मेज़बान एक बकरी वाला दरवाज़ा खोलता है।
- इस स्थिति में स्विच करने पर आप हार वाले दरवाज़े पर चले जाएँगे, यानी हार।
यदि खिलाड़ी ने शुरुआत में “बकरी” चुनी (संभावना 2/3)
- मेज़बान हमेशा कार को बचाते हुए बकरी वाला दरवाज़ा खोलेगा।
- इसलिए स्विच करने पर आप कार वाले दरवाज़े पर पहुँचते हैं और जीतते हैं।

नतीजा: स्विच करने पर जीत की संभावना 2/3 और स्विच न करने पर 1/3 होती है।

N दरवाज़ों तक विस्तार

यह समस्या सिर्फ़ तीन दरवाज़ों तक सीमित नहीं है; इसे N दरवाज़ों तक विस्तार किया जा सकता है।

यदि कुल N दरवाज़े हों:
- पहली पसंद पर टिके रहने की जीत की संभावना 1/N होगी।
- आखिरी में स्विच करने पर जीत की संभावना (N−1)/N होगी।

उदाहरण के लिए मान लें 100 दरवाज़े हैं। पहले प्रयास में कार चुनने की संभावना मात्र 1/100 है। इसके उलट 99/100 संभावना है कि आपने बकरी चुनी है। मेज़बान उन बकरी दरवाज़ों में से 98 खोलकर कार को बचाएगा, इसलिए जो दरवाज़ा बचता है उसमें 99/100 संभावना से कार होती है। यह उदाहरण बताता है कि “स्विच करना बेहद फायदे का सौदा” क्यों है।

Excel और ब्राउज़र में “देखकर समझें”

Excel में हज़ारों सिमुलेशन चलाने पर, स्विच रणनीति की जीत की दर धीरे-धीरे 66.6% के पास पहुँचती है। यह सिद्धांत से पूरी तरह मेल खाती है।

लेकिन सिर्फ़ आँकड़ों से अनुभूति नहीं बनती। इसीलिए इस लेख के साथ सिर्फ़ ब्राउज़र में चलने वाला समर्पित टूल भी उपलब्ध कराया है।

सिमुलेटर की खासियत

हाथ से खेलने का मोड: खुद दरवाज़ा चुनें, मेज़बान के खोलने का क्रम देखें।
स्वचालित सिमुलेशन मोड: दसियों हज़ार प्रयास क्षण भर में करें और देखें कि जीत की संभावना कैसे स्थिर होती है।
N-दरवाज़ा सेटिंग (3 से 10 दरवाज़े): सामान्यीकृत समस्या को सहजता से अनुभव करें।
ग्राफ़ प्रदर्शन सुविधा: रणनीतियों के जीत प्रतिशत को दृश्य रूप में तुलना करें।

इस तरह “अंतर्ज्ञान” और “सांख्यिकीय वास्तविकता” को साथ अनुभव करने से मोंटी हॉल समस्या का सार और स्पष्ट होता है।

आम आपत्तियाँ और ध्यान देने योग्य बातें

यदि मेज़बान को अंदर की जानकारी न हो और वह यादृच्छिक दरवाज़ा खोले → वह गलती से कार वाला दरवाज़ा भी खोल सकता है, ऐसे में समस्या अलग रूप ले लेती है।
यदि मेज़बान अपने अलग नियमों के अनुसार दरवाज़ा खोले → उन नियमों की जानकारी खिलाड़ी को हो तो सशर्त प्रायिकता बदल सकती है।
“अंत में दो दरवाज़े बचे, तो संभावना 1/2 ही होगी” जैसे भ्रम → वास्तव में मेज़बान की क्रिया एक “सूचना” देती है, जिससे दोनों दरवाज़े समतुल्य नहीं रहते। एक में 1/3, दूसरे में 2/3 संभावना जमा होती है।

सारांश

मोंटी हॉल समस्या अंतर्ज्ञान से उलट समझ आने वाली, पर तर्क से अत्यंत सरल प्रायिकता की समस्या है।
मेज़बान द्वारा दरवाज़ा खोलने की जानकारी पर ध्यान दें तो “दरवाज़ा बदलने” की रणनीति हमेशा अधिक लाभकारी सिद्ध होती है।
Excel के सिमुलेशन और इस लेख में साझा ब्राउज़र सिमुलेटर के माध्यम से, आप आँकड़ों और प्रत्यक्ष अनुभव दोनों से समझ को गहरा कर सकते हैं।

स्वयं प्रयोग करें और अनुभूति तथा तर्क के अंतर को पाटें। सिमुलेशन यहाँ उपलब्ध है → Monty Hall Simulator

परिशिष्ट (पुराना नोट दुबारा)

मैंने जब पहली बार यह समस्या जानी, तब Excel में बार-बार प्रयास करते हुए इस अंतर्ज्ञान पर पहुँचा कि “दरवाज़ा बदलना, शुरुआत में दो दरवाज़े चुनने के बराबर है”। इस लेख में वही अनुभव नया रूप देकर विस्तारित किया है।

दिलचस्प बात यह है कि 1980 के दशक के उत्तरार्ध में अमेरिका में यह समस्या प्रसिद्ध हुई। पत्रिका Parade में प्रकाशित कॉलम में जब मोंटी हॉल समस्या आई, तो संपादकीय टीम को 10,000 से अधिक पत्र मिले, जिनमें से अधिकांश का दावा था कि “अवश्य ही संभावना 1/2-1/2 है”। कई विश्वविद्यालय प्रोफेसरों, शोधकर्ताओं, यहाँ तक कि सांख्यिकी विशेषज्ञों के सैकड़ों पत्रों में भी यही आपत्ति दर्ज थी—उस दौर में विशेषज्ञ भी अंतर्ज्ञान के जाल में फँसकर गलत निष्कर्ष निकाल रहे थे।

यह प्रसंग दिखाता है कि मोंटी हॉल समस्या किस तरह मानव अंतर्ज्ञान को धोखा देती है और तर्कसंगत सोच की आवश्यकता सिखाती है।