מדמים את בעיית מונטי הול כדי להבין למה כדאי להחליף דלת

עיקרי המאמר

• מתוך שלוש דלתות מסתתרת מאחורי אחת מכונית חדשה, ומאחורי השתיים האחרות עזים כפרס ניחומים.

• השחקן בוחר תחילה דלת אחת.

• המנחה—על שם מונטי הול, המגיש של תוכנית הטלוויזיה האמריקאית Let’s Make a Deal, שיודע מה יש מאחורי כל דלת—פותח תמיד דלת אחת שמסתירה עז.

• לאחר מכן על השחקן להחליט אם להיצמד לבחירה הראשונית או לעבור לדלת הסגורה היחידה שנותרה.

• המסקנה ברורה: החלפת הדלת מעניקה יתרון מוחץ (הסתברות ניצחון = ‎2⁄3).

• בעזרת הסימולטור שנציג כאן תוכלו לראות ולהרגיש את ההסתברות הנגדית לאינטואיציה הזו עד שהיא תהפוך למובנת מאליה.

פתיחה

האם קרה לכם שהרגשתם “הבטן אומרת תשובה אחת, אבל המתמטיקה מתעקשת על אחרת”? בעיית מונטי הול היא ההתגוששות המושלמת בין אינטואיציה ללוגיקה.

גם אני פעם האמנתי ש"אחרי שהמנחה פותח דלת, ההסתברות היא 1/2 לכל אחד משני הסיכויים" ולא הצלחתי לקבל את התוצאה. רק אחרי שהרצתי אלפי ניסויים ב-Excel וראיתי את המספרים מתכנסים ל־2⁄3, זה התחיל להיות הגיוני. המאמר הזה משחזר את החוויה ההיא ומתקדם צעד נוסף, עם סימולטור שפועל כולו בדפדפן ופתוח לכולם מיד.

שם החידה נגזר ממונטי הול עצמו—המגיש הקנדי-אמריקאי של Let’s Make a Deal—שמשחקי החשיפה שלו לעזים השראה את התרחיש.

חוקי הבעיה (גרסת שלוש הדלתות)

• מאחורי שלוש הדלתות [אחת מסתירה את המכונית ושתי האחרות עזים].
• השחקן בוחר בהתחלה דלת אחת כרצונו.
• המנחה, שיודע הכול, פותח תמיד דלת אחרת שמסתירה עז.
• נותרות שתי אפשרויות: הדלת המקורית ודלת אחת שעדיין סגורה.
• השחקן חייב לבחור אם “להישאר” או “להחליף”.

מדוע האינטואיציה מטעה?

רוב האנשים חושבים: “ברגע שנשארו שתי דלתות, לכל אחת סיכוי של חצי”. זו טעות יסודית.

• הסיכוי שבחרתם מלכתחילה בדלת עם המכונית הוא רק 1⁄3.
• לכן הסיכוי שבחרתם עז בהתחלה הוא 2⁄3.
• כיון שהמנחה חושף תמיד עז, הדלת הסגורה שלא בחרתם אוגרת אליה את הסיכוי של 2⁄3 להסתיר את המכונית.
• הישארות מעניקה שיעור הצלחה של 1⁄3; החלפה מעניקה 2⁄3. החלפה טובה פי שניים.

להבין זאת עם עץ החלטה

פירוק המקרים בעץ החלטה מחדד את ההגיון.

1. אם בחרתם במכונית בהתחלה (הסתברות 1⁄3)

   • המנחה פותח דלת עם עז.
   • אם תחליפו, תעברו לעז ותפסידו.

2. אם בחרתם בעז בהתחלה (הסתברות 2⁄3)

   • המנחה מקפיד להשאיר את המכונית סגורה ופותח עז.
   • אם תחליפו, תעברו למכונית ותנצחו.

במצטבר, החלפה מנצחת ב־2⁄3 מהמקרים, הישארות מנצחת ב־1⁄3.

הרחבת הרעיון ל־N דלתות

ההיגיון אינו תלוי במספר הדלתות.

• עם N דלתות:
  • הישארות משמרת את הסיכוי המקורי של 1⁄N.
  • החלפה בסוף מעניקה הסתברות ניצחון של (N − 1)⁄N.

דמיינו 100 דלתות. הסיכוי שבחרתם מיד במכונית הוא רק 1⁄100. המנחה—שוב דמות בסגנון מונטי הול שיודעת הכול—פותח 98 דלתות מפסידות ומשאיר דלת אחת סגורה. עכשיו הדלת הזו מחזיקה ב־99⁄100 סיכוי להסתיר את המכונית. ברור שהחלפה היא האסטרטגיה העדיפה.

“לראות” את זה ב-Excel ובדפדפן

הרצה של אלפי ניסויים ב-Excel מראה כיצד אסטרטגיית ההחלפה מתכנסת לשיעור ניצחון של ‎66.6%‎, בדיוק כפי שהחישוב מנבא.

אבל מספרים לבדם יכולים להרגיש מופשטים. לכן בניתי עבור המאמר הזה כלי שפועל אך ורק בדפדפן.

מה מקבלים בסימולטור

• מצב משחק ידני שמאפשר לכם לבחור דלתות בעצמכם ולצפות באנימציות של חשיפת המנחה.
• מצב סימולציה אוטומטי שמריץ עשרות אלפי ניסויים בשבריר שנייה וממחיש את ההתכנסות.
• הגדרות ל־N דלתות (3–10 דלתות) שמכלילות את התרחיש ועוזרות להבין את הדפוס.
• תרשימים שמשווים בזמן אמת את שיעורי הניצחון של כל אסטרטגיה.

כאשר חווים יחד את התחושה ואת הסטטיסטיקה, לב הבעיה נעשה הרבה יותר ברור.

התנגדויות נפוצות ודגשים

• מה אם המנחה לא יודע מה מסתתר ופותח דלתות באקראי? → אז הוא עלול לחשוף את המכונית. זו כבר בעיה אחרת לחלוטין.

• מה אם המנחה פועל לפי כלל מיוחד לאיזו דלת לפתוח? → אם השחקנים מכירים את הכלל, ההסתברויות המותנות משתנות.

• “כשיש שתי דלתות, זה חייב להיות חצי־חצי!” → לפעולה של המנחה יש ערך מידע. שתי הדלתות אינן סימטריות: אחת מסתירה את המכונית בסיכוי 1⁄3, האחרת ב־2⁄3.

סיכום

• בעיית מונטי הול היא פשוטה לכאורה אבל שוברת אינטואיציה בצורה אכזרית.
• כאשר לוקחים בחשבון את פעולת המנחה, מגלים שהחלפת דלתות תמיד עדיפה.
• ניסויי Excel והסימולטור הדפדפני שהצגנו כאן מאפשרים להפנים את המתמטיקה דרך מספרים וגם דרך חוויה ישירה.

נסו בעצמכם → סימולטור מונטי הול

נספח (הערות המקור)

כשראיתי שוב ושוב את ניסויי ה-Excel, הבנתי ש"החלפה שקולה לכך שבחרת מראש שתי דלתות"—ורק אז התחושה הזו התקבעה. המאמר הזה הוא גרסה מעודכנת ומורחבת של אותו מסמך ישן.

מדהים לחשוב כיצד החידה הפכה לוויראלית בארצות הברית בסוף שנות השמונים. כשמגזין Parade פרסם אותה, הגיעו למערכת למעלה מ־10,000 מכתבים שבהם נטען ש"הסיכויים חייבים להיות חצי־חצי". מאות מהם הגיעו מפרופסורים לסטטיסטיקה וממתמטיקאים—הוכחה שגם מומחים יכולים ליפול לאינטואיציה כאשר המסגור מזכיר שעשועון טלוויזיה.

הפרק הזה מדגים כמה בעיית מונטי הול מאתגרת את האינטואיציה האנושית ולמה חשיבה מסודרת כל כך חשובה.