Points clés de l’article

  • Parmi trois portes, l’une cache une voiture neuve tandis que les deux autres dissimulent une chèvre.

  • Le joueur choisit d’abord une porte.

  • L’animateur (qui connaît le contenu des trois portes) ouvre ensuite systématiquement une porte perdante.

  • Le joueur doit alors décider de conserver son premier choix ou de passer à « l’autre porte encore fermée ».

  • La conclusion est sans appel : changer de porte est massivement avantageux (taux de victoire = 2/3).

  • Dans cet article, nous accompagnons un simulateur jouable dans le navigateur pour voir et ressentir cette probabilité contre-intuitive jusqu’à ce qu’elle devienne évidente.

Introduction

Vous est-il déjà arrivé de penser « mon intuition me dit que c’est la bonne réponse, pourtant le calcul affirme le contraire » ? Le problème de Monty Hall est le duel parfait entre intuition et logique.

J’ai moi-même cru longtemps que « une fois qu’il ne reste plus que deux portes, la probabilité est de 1/2 ». Impossible d’accepter un autre résultat. J’ai fini par comprendre en exécutant des milliers de simulations dans Excel et en observant la probabilité converger vers 2/3. Cet article reprend ce cheminement et va plus loin en publiant un simulateur accessible directement dans le navigateur pour que chacun puisse en faire l’expérience.

Règles du problème (version à trois portes)

  • Derrière trois portes, [une cache la voiture neuve, les deux autres des chèvres].
  • Le joueur commence par choisir la porte de son choix.
  • L’animateur, qui connaît parfaitement le contenu, ouvre alors exactement une porte perdante parmi les deux restantes.
  • Le joueur fait face à deux options : garder son choix initial ou basculer sur la dernière porte encore fermée.
  • Il doit prendre une décision finale.

Pourquoi l’intuition se trompe-t-elle ?

Beaucoup de personnes se disent que « puisqu’il ne reste plus que deux portes, la probabilité est forcément 1/2 ». C’est une erreur majeure.

  • Au départ, la probabilité de choisir la bonne porte n’est que de 1/3.
  • La probabilité de tomber sur une chèvre est donc de 2/3.
  • Comme l’animateur ouvre toujours une porte perdante, ces 2/3 de probabilité se concentrent sur la porte restante.
  • Résultat : rester sur son premier choix donne 1/3 de chances de gagner, alors que changer de porte offre 2/3 de chances, soit deux fois plus.

Comprendre avec un arbre de décision

Un arbre de décision permet d’y voir encore plus clair.

  1. Si, au départ, vous avez choisi la voiture (probabilité 1/3)

    • L’animateur ouvre une porte perdante.
    • Changer de porte vous fait basculer sur une chèvre et vous perdez.

  2. Si, au départ, vous avez choisi une chèvre (probabilité 2/3)

    • L’animateur s’arrange pour laisser la voiture fermée.
    • En changeant de porte, vous tombez donc sur la voiture et vous gagnez.

Conclusion : changer de porte offre 2/3 de chances de gagner, rester sur son choix initial seulement 1/3.

Généraliser au cas N portes

Le problème ne se limite pas à trois portes.

  • Pour N portes :
    • Rester sur son choix initial donne 1/N.
    • Changer de porte après la révélation donne (N−1)/N.

Prenons 100 portes. La probabilité d’avoir choisi la voiture du premier coup n’est que de 1/100. Celle d’avoir choisi une chèvre est de 99/100, et l’animateur ouvre 98 portes perdantes en veillant à laisser la voiture fermée. La porte restante concentre donc 99/100 de probabilité d’être la bonne. Cet exemple rend encore plus intuitive l’idée que « changer de porte est écrasant ».

Voir pour comprendre : Excel et navigateur

Des milliers de simulations dans Excel montrent que le taux de victoire converge vers 66,6 % lorsqu’on change de porte. C’est parfaitement conforme à la théorie.

Mais des chiffres ne suffisent pas toujours à convaincre. C’est pourquoi nous proposons ici un outil qui fonctionne intégralement dans le navigateur.

Points forts du simulateur

  • Mode manuel : jouez vous-même, choisissez une porte, laissez l’animateur en ouvrir une et ressentez le déroulement.
  • Mode simulation automatique : laissez l’outil exécuter plus de 10 000 essais en un clin d’œil pour observer la convergence statistique.
  • Paramètre N portes (3 à 10) : expérimentez des variantes généralisées.
  • Courbes : comparez visuellement les stratégies et leurs taux de réussite.

En confrontant intuition et statistiques en temps réel, l’essence du problème devient limpide.

Objections fréquentes et points d’attention

  • Si l’animateur ne connaît pas le contenu et ouvre une porte au hasard → Il risque de dévoiler la voiture ; on se trouve alors face à un autre problème.

  • Si l’animateur suit des règles particulières → Si ces règles sont partagées avec le joueur, la probabilité conditionnelle peut changer.

  • « Quand il ne reste plus que deux portes, la probabilité est bien 1/2 ! » → En réalité, l’action de l’animateur est une information. Les deux portes ne sont pas symétriques : l’une reste à 1/3, l’autre passe à 2/3.

Résumé

  • Le problème de Monty Hall piège l’intuition, mais une analyse logique révèle une structure simple.
  • En tenant compte de l’information fournie par l’animateur, on montre que changer de porte est toujours plus avantageux.
  • Les simulations Excel comme le simulateur web présenté ici permettent d’ancrer cette compréhension à la fois numériquement et expérientiellement.

Essayez par vous-même et comblez le fossé entre sensation et théorie. Le simulateur est ici : Monty Hall Simulator

Note annexe (mémo d’origine)

À force de tester dans Excel, j’ai fini par ressentir intuitivement que « changer de porte revient à avoir initialement choisi deux portes ». Cet article est une version enrichie de ces notes.

L’épisode qui a popularisé le problème date de la fin des années 1980 aux États-Unis. Une chronique du magazine Parade a présenté le scénario ; la rédaction a reçu plus de 10 000 courriers, dont la plupart affirmaient que « la probabilité est forcément de 1/2 ». Parmi ces lettres figuraient des protestations d’universitaires, de chercheurs et même de mathématiciens spécialisés en statistiques. Eux aussi se sont laissés piéger par leur intuition.

Cet épisode illustre à quel point le problème de Monty Hall contredit nos réflexes, tout en rappelant l’importance du raisonnement rigoureux.