Artikkelin ydinasiat

  • Kolmen oven takana on yksi uusi auto ja kaksi hutia eli vuohta.

  • Pelaaja valitsee ensin yhden oven.

  • Juontaja (joka tietää jokaisen oven sisällön) avaa aina täsmälleen yhden hutiosuuden.

  • Tämän jälkeen pelaajan on päätettävä, pitääkö hän kiinni alkuperäisestä valinnasta vai vaihtaako ainoaan jäljellä olevaan suljettuun oveen.

  • Johtopäätös on selkeä: oven vaihtaminen on ylivoimainen strategia (voittotodennäköisyys 2/3).

  • Tässä artikkelissa opastan sinut selaimessa toimivan simulaattorin avulla näkemään ja tuntemaan tämän intuitiota vastaan sotivan todennäköisyyden.

Johdanto

Oletko joskus kokenut, että “tuntumani sanoo näin”, mutta matematiikan vastaus on täysin eri? Monty Hall -ongelma on tällaisen intuitio vastaan logiikka -kohtaamisen peruskaava.

Itsekin uskoin pitkään, että kun ovi avataan, jäljellä on kaksi vaihtoehtoa ja molemmilla on 1/2:n mahdollisuus. En hyväksynyt lopputulosta ennen kuin ajoin Excelissä tuhansia kokeita ja näin prosenttien asettuvan 2/3:aan. Tässä artikkelissa rakennan tuon kokemuksen uudelleen ja vien sen pidemmälle: julkaisen selaimessa toimivan simulaattorin, jolla kuka tahansa voi kokeilla ilmiötä heti.

Säännöt (kolmen oven versio)

  • Kolmen oven takana on yksi palkintoauto ja kaksi vuohta (hutia).
  • Pelaaja valitsee aluksi yhden oven.
  • Juontaja – henkilö, joka tietää ovien sisällön – avaa aina yhden hutiosuuden.
  • Pelaajan eteen jää kaksi vaihtoehtoa: alun perin valittu ovi ja ainoa suljettu ovi.
  • Lopuksi on päätettävä, pysyykö valinnassa vai vaihtaako toiseen oveen.

Miksi intuitio menee pieleen?

Useimmat ajattelevat: “lopussa on kaksi ovea, joten todennäköisyys jakautuu tasan 1/2 ja 1/2”. Se on suuri harhaluulo.

  • Alkuvalinta osuu oikeaan vain 1/3 todennäköisyydellä.
  • Hutivalintaan osutaan 2/3 todennäköisyydellä.
  • Koska juontaja avaa aina yhden hutiosuuden, jäljelle jäävään oveen kasautuu 2/3:n todennäköisyys palkinnosta.
  • Jos pysyt alkuperäisessä valinnassa, voittotodennäköisyys on 1/3. Vaihtaessa se on 2/3. Vaihtaminen on siis kaksi kertaa parempi strategia.

Ymmärrä puu-kaaviolla

Kun luokittelet tapaukset puu-kaavioon, logiikka kirkastuu.

  1. Jos osut alussa palkintoon (todennäköisyys 1/3)
    • Juontaja avaa vuohea piilottavan oven.
    • Oven vaihto johtaa tappioon, koska siirryt hutiosuuteen.
  2. Jos osut alussa hutiin (todennäköisyys 2/3)
    • Juontaja avaa toisen hutiosuuden mutta säästää palkinnon.
    • Oven vaihto vie sinut palkintoautoon ja voitat.

Siis: vaihtamalla voitat 2/3 tapauksista, pysymällä vain 1/3.

Laajennus N oveen

Pulma ei rajoitu kolmeen oveen. Voimme yleistää N:ään oveen.

  • Kun ovia on N:
    • Alkuperäinen valinta osuu oikeaan todennäköisyydellä 1/N.
    • Vaihtaessa lopuksi voitat todennäköisyydellä (N−1)/N.

Ajattele 100 ovea. Alussa arvonnat osuvat palkintoon vain 1/100 todennäköisyydellä. Sen sijaan 99/100 kertaa valitset hutiosuuden. Juontaja avaa niistä 98, jättäen palkinnon väistämättä viimeiseen suljettuun oveen. Siellä on siis 99/100 todennäköisyydellä palkinto. Tämän jälkeen on vaikea väittää, ettei vaihtaminen olisi ylivoimainen.

Näe Excelillä ja selaimessa

Aja Excelissä tuhansia simulaatioita ja huomaat, kuinka vaihtamisen voittoprosentti konvergoi 66,6 prosenttiin. Teoria ja käytäntö kohtaavat täydellisesti.

Pelkkä numero kuitenkin jää helposti etäiseksi. Siksi julkaisen tässä artikkelissa pelkällä selaimella toimivan työkalun, jolla voit kokeilla ilmiötä itse.

Simulaattorin vahvuudet

  • Manuaalinen pelitila: valitse ovi itse ja seuraa, miten juontaja avaa hutiosuuden.
  • Automaattinen simulaatiotila: suorita jopa kymmeniä tuhansia kokeita hetkessä ja näe, miten tilastot asettuvat.
  • N-oven tuki (3–10 ovea): ymmärrä yleistetty malli intuitiivisesti.
  • Kaaviot: seuraa molempien strategioiden voittoprosenttia visuaalisesti.

Kun koet sekä intuition että tilastot samanaikaisesti, Monty Hall -ongelman ydin kirkastuu.

Yleiset vastaväitteet ja huomioita

  • Entä jos juontaja valitsee satunnaisesti eikä tiedä ovien sisältöä? → Silloin hän voi vahingossa avata palkinto-oven. Kyseessä on eri ongelma.

  • Entä jos juontajalla on omat sääntönsä? → Jos pelaaja tuntee säännöt, ehtojen todennäköisyydet voivat muuttua.

  • “Kun lopuksi on kaksi ovea, todennäköisyys on 1/2” → Juontajan toiminta sisältää informaatiota. Ovet eivät ole symmetrisiä: toinen sisältää palkinnon 1/3 ja toinen 2/3 todennäköisyydellä.

Yhteenveto

  • Monty Hall -ongelma on intuitiolle petollinen mutta logiikalle selkeä todennäköisyyspulma.
  • Kun huomioit juontajan antaman tiedon, näet miksi vaihtostrategia on aina parempi.
  • Excel-simulaatiot ja selainpohjainen työkalu auttavat yhdistämään numerot ja kokemuksen.

Kokeile itse ja ylitä kuilua intuition ja logiikan välillä. Simulaattori löytyy täältä → Monty Hall -simulaattori

Jälkikirjoitus

Kun pyörittelin Exceliä, oivalsin lopulta, että vaihtaminen vastaa käytännössä sitä, että olisin valinnut aluksi kaksi ovea yhtä aikaa. Tämä artikkeli on tuon kokemuksen uudelleenkirjoitus ja laajennus.

Monty Hall -ongelman kuuluisuus juontaa juurensa 1980-luvun Yhdysvalloissa tapahtuneeseen episodiin. Lehti Parade julkaisi kolumnin, ja toimitukseen saapui yli 10 000 kirjettä – suuri osa väitti, että todennäköisyys on 1/2 ja 1/2. Mukana oli yliopistoprofessoreita, tutkijoita ja tilastomatemaatikkoja, jotka suuttuivat “virheellisestä” vastauksesta. Jopa asiantuntijat antoivat intuitionsa johdatella heitä harhaan.

Tapaus osoittaa, miten Monty Hall -ongelma paljastaa ihmisen intuitiivisen päättelyn rajoja ja muistuttaa loogisen ajattelun merkityksestä.