Kernaussagen dieses Artikels

  • Hinter drei Türen versteckt sich ein Luxuswagen, hinter den anderen beiden eine Niete in Form einer Ziege.

  • Du wählst zuerst eine beliebige Tür.

  • Der Moderator (er kennt alle Inhalte) öffnet anschließend garantiert eine Nieten-Tür.

  • Danach musst du entscheiden: Bleibst du bei deiner ursprünglichen Tür oder wechselst du zur letzten geschlossenen?

  • Die Antwort ist eindeutig: Ein Wechsel ist massiv im Vorteil (Gewinnchance 2/3).

  • Dieser Artikel begleitet dich mit einem Browser-Simulator dabei, diese kontraintuitive Wahrscheinlichkeit „zu sehen" und zu fühlen.

Einleitung

Kennst du das Gefühl, dass sich etwas „richtig" anfühlt, die Mathematik aber widerspricht? Das Monty-Hall-Problem ist ein klassisches Beispiel dafür.

Ich hielt früher selbst daran fest, dass beide Optionen am Ende 1/2 Chance hätten – und war frustriert. Erst als ich tausende Durchläufe in Excel simulierte und sah, wie sich der Gewinn auf 2/3 stabilisierte, fiel der Groschen.

Hier rekonstruiere ich diese Erfahrung und ergänze sie um einen Browser-basierten Simulator, damit jeder das Ergebnis intuitiv nachvollziehen kann.

Die Regeln (3-Türen-Version)

  • Hinter den drei Türen befindet sich [ein Auto, die anderen beiden verstecken Ziegen (also Nieten)].
  • Du wählst eine Tür.
  • Der Moderator – er kennt alle Inhalte – öffnet garantiert eine Nieten-Tür unter den verbleibenden beiden.
  • Übrig bleiben deine erste Wahl und eine weitere verschlossene Tür.
  • Jetzt entscheidest du: bleiben oder wechseln?

Warum die Intuition täuscht

Viele denken: „Wenn zwei Türen bleiben, liegt die Trefferchance bei 1/2 je Tür." Das ist falsch.

  • Die anfängliche Chance, das Auto zu treffen, beträgt 1/3.
  • Gleichzeitig liegst du mit 2/3 Wahrscheinlichkeit daneben.
  • Weil der Moderator immer eine Niete öffnet, konzentriert sich diese 2/3-Wahrscheinlichkeit auf die verbleibende Tür.
  • Wer nicht wechselt, bleibt bei 1/3, wer wechselt, hat 2/3 – der Wechsel ist also doppelt so gut.

Verständnis über Baumdiagramme

Ein Fallunterscheidungsbaum macht es noch anschaulicher.

  1. Du triffst zunächst die Gewinn-Tür (Wahrscheinlichkeit 1/3).

    • Der Moderator öffnet eine Ziege.
    • Wechselst du jetzt, verlierst du – du wechselst zur Ziege.

  2. Du triffst zunächst eine Niete (Wahrscheinlichkeit 2/3).

    • Der Moderator öffnet ebenfalls eine Ziege, aber lässt das Auto stehen.
    • Wechselst du, landest du beim Auto und gewinnst.

So erkennt man: Beim Wechseln liegt die Gewinnchance bei 2/3, beim Bleiben bei 1/3.

Verallgemeinerung auf N Türen

Das Problem lässt sich auf beliebig viele Türen erweitern.

  • Bei N Türen gilt:
    • Bleibst du, beträgt die Gewinnchance 1/N.
    • Wechselst du am Ende, beträgt sie (N−1)/N.

Beispiel: Es gibt 100 Türen. Die Wahrscheinlichkeit, dass du anfangs das Auto triffst, liegt bei 1/100. In 99/100 Fällen wählst du eine Niete. Der Moderator öffnet davon 98 Türen, lässt aber das Auto stehen. Die verbliebene Tür trägt daher mit 99/100 Wahrscheinlichkeit den Gewinn.

Mit diesem Bild wird der Vorteil des Wechsels intuitiv.

Mit Excel und im Browser „sehen"

Excel-Simulationen über tausende Durchläufe zeigen, wie sich die Erfolgsquote des Wechselns stetig auf 66,6 % zubewegt – exakt wie die Theorie.

Zahlen allein überzeugen aber nicht jede Intuition. Darum gibt es jetzt den Browser-basierten Simulator.

Funktionen des Simulators

  • Manueller Modus: Wähle Türen, beobachte den Moderator und erlebe den Ablauf.
  • Automatischer Modus: Lass tausende Durchläufe in Sekunden rechnen und sieh, wie sich die Statistik einpendelt.
  • N-Türen-Konfiguration (3–10 Türen): Verstehe die verallgemeinerte Problemstellung.
  • Grafische Darstellung: Vergleiche die Gewinnraten der Strategien visuell.

So erlebst du Intuition und Statistik gleichzeitig – das Monty-Hall-Problem wird greifbar.

Häufige Einwände und Hinweise

  • Was, wenn der Moderator die Inhalte nicht kennt und zufällig öffnet? → Dann könnte er das Auto versehentlich aufdecken – ein anderes Problem.

  • Was, wenn der Moderator eigene Regeln hat? → Sind diese Regeln bekannt, verändert sich die bedingte Wahrscheinlichkeit.

  • „Wenn am Ende zwei Türen übrig sind, sind es doch 1/2 und 1/2"? → Der Akt des Moderators liefert Information. Die Türen sind asymmetrisch: Eine trägt 1/3, die andere 2/3 Wahrscheinlichkeit.

Fazit

  • Das Monty-Hall-Problem wirkt intuitiv verwirrend, ist mathematisch aber glasklar.
  • Rechnet man die Information des Moderators ein, zeigt sich: Die Wechsel-Strategie ist stets überlegen.
  • Mit Excel-Statistiken und dem Browser-Simulator lässt sich das sowohl zahlenmäßig als auch erfahrbar nachprüfen.

Probier es selbst und überbrücke die Lücke zwischen Gefühl und Logik. Hier geht es zum Tool: Monty Hall Simulator

Anmerkung (aus dem Originalnotizbuch)

Beim wiederholten Excel-Test entstand meine Intuition, dass „Wechseln" der Idee ähnelt, ursprünglich zwei Türen zu wählen. Dieser Beitrag bereitet diese Erkenntnisse neu auf.

Spannend ist die Entstehungsgeschichte: Ende der 1980er in den USA schilderte die Zeitschrift Parade das Problem. Über 10.000 Leserbriefe trafen ein – die meisten behaupteten, die Chancen seien 1/2 zu 1/2. Darunter waren hunderte Professoren, Forschende und Statistik-Expertinnen, die sich allesamt von ihrer Intuition täuschen ließen.

Das zeigt, wie stark das Monty-Hall-Problem unsere Intuition narrt und wie wichtig logisches Denken bleibt.