Shrnutí článku

  • Za třemi dveřmi se skrývá nový vůz, zatímco další dvě dveře ukrývají kozu jako nulu.

  • Hráč si nejprve zvolí jedny dveře.

  • Moderátor (zná obsah všech dveří) vždy otevře přesně jedny prohrávající dveře.

  • Hráč se pak musí rozhodnout, zda si nechá původní volbu, nebo přejde na druhé, dosud zavřené dveře.

  • Závěr je jasný: změnit volbu je výrazně výhodnější (šance na výhru je 2/3).

  • Tento článek, doplněný o simulátor běžící v prohlížeči, vám pomůže tuto kontraintuitivní pravděpodobnost „vidět“ i „cítit“ a přijmout ji.

Úvod

Zažili jste někdy pocit, že něco „musí být správně“, jenže matematický výsledek tvrdí opak? Problém Monty Hall je přesně takovým střetem intuice a logiky.

I já jsem kdysi věřil, že po odhalení jedněch dveří mají zbývající dvě stejnou šanci 1/2, a s výsledkem jsem se nemohl smířit. Sedl jsem proto k Excelu, spustil tisíce simulací a sledoval, jak se pravděpodobnost výhry při změně dveří ustaluje na 2/3. Teprve tehdy mi to docvaklo. Tento článek tuto zkušenost rekonstruuje a rozšiřuje o simulátor, který běží přímo v prohlížeči a který si může kdokoli osahat.

Pravidla úlohy (verze se 3 dveřmi)

  • Za třemi dveřmi [je jedna výhra v podobě auta a dvě prohry se schovanou kozou].
  • Hráč si z nich nejprve vybere jedny.
  • Moderátor, který zná obsah všech dveří, vždy otevře jednu prohrávající možnost.
  • Před hráčem tak zůstanou dvě volby: původní dveře a jediné další, které zůstaly zavřené.
  • V posledním kroku se musí rozhodnout, zda zůstane, nebo přepne.

Proč nás intuice zrazuje?

Mnoho lidí si řekne: „Když zůstaly dvě dveře, je to přece padesát na padesát.“ Jenže to je omyl.

  • Na začátku je šance trefit auto jen 1/3.
  • Pravděpodobnost, že jsme sáhli vedle, je 2/3.
  • Moderátor vždy otevře jedny prohrávající dveře, takže těch 2/3 pravděpodobnosti se přesune na zbývající zavřené dveře.
  • Pokud nezměníte volbu, zůstává vám 1/3, zatímco změna vám dává 2/3 – je tedy dvakrát výhodnější přepnout.

Pochopení pomocí stromového diagramu

Rozvětvení případů pomocí stromu situaci ještě zpřehlední.

  1. Pokud napoprvé zvolíte výhru (pravděpodobnost 1/3), moderátor otevře kozu.
    Změníte-li teď volbu, přepnete právě na tu kozu a prohrajete.
  2. Pokud napoprvé sáhnete vedle (pravděpodobnost 2/3), moderátor záměrně otevře jinou kozu a výhru nechá zavřenou.
    Tím pádem vás přepnutí dovede k výhře.

Výsledek: se změnou volby vyhráváte ve 2/3 případů, bez změny jen v 1/3.

Rozšíření na N dveří

Úlohu můžeme zobecnit na libovolných N dveří.

  • Pokud setrváte u první volby, pravděpodobnost výhry je 1/N.
  • Pokud na konci přepnete, pravděpodobnost je (N−1)/N.

Představte si 100 dveří. Šance, že jste na poprvé trefili správně, je pouhých 1/100. Pravděpodobnost, že jste zvolili špatně, je 99/100, a moderátor z nich otevře 98 tak, aby výhra zůstala schovaná. Zbývající dveře tak obsahují výhru s pravděpodobností 99/100. Tento extrémní příklad intuitivně ukazuje, proč je přepnutí naprostá nutnost.

Vidět to v Excelu i v prohlížeči

Když v Excelu spustíte tisíce simulací, uvidíte, jak se výhra při přepnutí blíží k 66,6 %. To přesně odpovídá teorii.

Jenže čísla sama o sobě někdy nepomáhají. Proto k článku přidávám nástroj, který běží jen v prohlížeči.

Co simulátor umí

  • Ruční režim: vybíráte dveře, sledujete moderátorovu animaci a zažíváte celý proces.
  • Automatický režim: během okamžiku zvládne desetitisíce pokusů a ukáže, jak se statistika stabilizuje.
  • N dveří (3–10): můžete intuitivně vnímat zobecnění úlohy.
  • Grafy: průběžně kreslí, jak si vedou jednotlivé strategie.

Spojením „intuice“ a „statistiky“ si podstatu problému Monty Hall osvojíte daleko jistěji.

Časté námitky a na co dát pozor

  • Moderátor nezná obsah dveří a otevře náhodně
    → Může omylem odhalit výhru, a pak řešíme úplně jiný problém.
  • Moderátor hraje podle vlastních pravidel
    → Pokud hráč zná ta pravidla, podmíněné pravděpodobnosti se mohou změnit.
  • „Když zůstanou dvě dveře, je to půl na půl!“
    → Samotné moderátorovo odhalení je informace. Dvoje dveře nejsou ekvivalentní: jedny nesou pravděpodobnost 1/3, druhé 2/3.

Závěr

  • Problém Monty Hall je kontraintuitivní, ale logicky přehledný příklad pravděpodobnosti.
  • Pokud započítáme informaci, kterou nám dává moderátor, je strategie změnit volbu matematicky vždy výhodnější.
  • Statistiky z Excelu i prohlížečový simulátor z tohoto článku vám pomohou pochopit rozdíl mezi pocitem a teorií.

Vyzkoušejte si to sami a překročte propast mezi intuicí a logikou.
Simulátor najdete zde → Monty Hall Simulator

Poznámka z původního zápisku

Při dávných experimentech v Excelu jsem došel k intuitivnímu pochopení, že změnit volbu je totéž, jako byste si na začátku vybrali dvoje dveře. Tento článek je přepracovanou verzí tehdejších poznámek.

Zajímavou historkou je případ z konce 80. let v USA. Když časopis Parade uveřejnil sloupek s problémem Monty Hall, dorazilo redakci přes deset tisíc dopisů – drtivá většina tvrdila, že pravděpodobnosti musí být 1/2 a 1/2. Psali i profesoři, výzkumníci a statistici; stovky z nich trvaly na tom, že výsledek nemůže být jiný. I odborníky tehdy strhla intuice.

Tento příběh krásně ukazuje, jak Monty Hall klame naše instinkty a zároveň nás učí důležitosti racionálního uvažování.