محاكاة مسألة مونتي هول وفهمها بالعين: كيف تهزم الاحتمال المخادع

خلاصة المقال

هناك ثلاثة أبواب: خلف أحدها سيارة فاخرة، وخلف الآخرين ماعزان (أي خسارة).

يختار اللاعب بابًا واحدًا في البداية.

يعرف مقدم البرنامج محتوى الأبواب كلها، ويفتح بابًا واحدًا خاسرًا حتمًا.

بعد ذلك يُخيَّر اللاعب: هل يبقى على اختياره الأول أم ينتقل إلى الباب الآخر المتبقي؟

النتيجة واضحة: تغيير الاختيار يمنحك فرصة فوز قدرها 2/3.

سنشرح ذلك خطوة بخطوة بينما تشاهد محاكيًا يعمل في المتصفح، بحيث ترى الفارق بعينك وتشعر به.

مقدمة

هل مررت بتجربة تقول فيها “حدسي صحيح” ثم يفاجئك المنطق؟ مسألة مونتي هول تجسد هذا الصدام بين الحدس والبرهان.

كنت أنا نفسي أظن أن النتيجة ستكون 1/2 سواء غيرت الباب أم لا. لم أقتنع إلا بعد أن شغلت آلاف المحاولات على Excel ورأيت النسبة تستقر عند 2/3 لمن يبدل الباب. في هذا المقال أعيد بناء تلك التجربة وأضيف إليها محاكيًا يعمل على المتصفح لتعيش الإحساس نفسه.

قواعد المسألة (نسخة الأبواب الثلاثة)

لدينا ثلاثة أبواب، واحد منها يخفي سيارة جديدة، واثنان يخفيان ماعزًا.
يختار اللاعب بابًا واحدًا.
يفتح مقدم البرنامج ─ وهو يعرف المحتويات ─ بابًا واحدًا خاسرًا دائمًا.
يتبقى بابان: باب اللاعب الأول، والباب المغلق الأخير.
يجب أن يقرر اللاعب: إما التمسك بالباب الأول أو الانتقال إلى الباب الآخر.

لماذا يخذلنا الحدس؟

يميل معظم الناس إلى القول “إذا بقي بابان فاحتمال الفوز 1/2 لكل منهما”، وهذا خطأ كبير.

احتمال أن تختار السيارة من المحاولة الأولى هو 1/3 فقط.
احتمال أن تختار ماعزًا هو 2/3.
لأن المقدم يفتح بابًا خاسرًا مضمونًا، فإن الاحتمال 2/3 ينتقل إلى الباب المتبقي.
لذا ففرصة الفوز عند عدم التغيير 1/3، بينما عند التغيير 2/3، أي أنك تضاعف حظك.

فهمها عبر شجرة حالات

تقسيم الحالات إلى شجرة مبسط:

إذا اخترت السيارة منذ البداية (احتمال 1/3)
- يفتح المقدم بابًا يحتوي ماعزًا.
- إذا غيرت اختيارك ستنتقل إلى الخسارة.
إذا اخترت ماعزًا (احتمال 2/3)
- يفتح المقدم الباب الخاسر الآخر ويُبقي السيارة مغلقة.
- التبديل ينقلك إلى السيارة وبالتالي تربح.

إذن التبديل يفوز بنسبة 2/3، وعدم التبديل بنسبة 1/3.

التعميم إلى N باب

يمكن توسيع المسألة لتشمل (N) بابًا:

إذا بقيت على اختيارك الأول ففرصتك 1/N.
إذا بدلت بعد أن يفتح المقدم جميع الأبواب الخاسرة عدا واحدًا، ففرصتك (N−1)/N.

تخيل وجود 100 باب. احتمال أنك أصبت السيارة من البداية هو 1/100 فقط، بينما احتمال أنك اخترت بابًا خاطئًا 99/100. يفتح المقدم 98 بابًا خاطئًا ويبقي بابًا واحدًا، فيحمل هذا الباب احتمال 99/100 للفوز. يصبح من الواضح أن التبديل هو القرار الحكيم.

رؤية الاحتمال بالتجربة: Excel والمتصفح

إذا أجريت آلاف المحاولات في Excel سترى نسبة الفوز عند التبديل تقترب من 66.6٪، تمامًا كما يتوقع المنطق.

لكن الأرقام وحدها باردة. لذلك أطلقنا محاكيًا يعمل بالكامل داخل المتصفح:

ميزات المحاكي

وضع اللعب اليدوي يتيح لك اختيار الأبواب ورؤية كيفية فتح المقدم للباب الخاسر.
وضع المحاكاة التلقائية يجري عشرات الآلاف من المحاولات فورًا ويعرض استقرار النسبة.
إعداد N باب (من 3 إلى 10) يساعدك على فهم النسخة العامة.
رسوم بيانية فورية تقارن احتمالات الاستراتيجيات.

الجمع بين الحدس والأرقام يجعل المسألة أكثر وضوحًا.

أبرز الاعتراضات والتنبيهات

ماذا لو لم يكن المقدم يعرف المحتويات وفتح بابًا عشوائيًا؟ → عندئذ قد يفتح السيارة بالخطأ وتصبح المسألة مختلفة تمامًا.
ماذا لو اتبع المقدم قواعد خاصة؟ → إذا كانت القواعد معلومة للاعب فإن الاحتمالات تتغير تبعًا لها.
“إذا تبقى بابان فالمفترض أن تكون النسبة 1/2” → فتح الباب الخاسر ليس حدثًا محايدًا؛ إنه يقدم معلومات تجعل البابين غير متماثلين. أحدهما يحمل 1/3 والآخر 2/3.

الخاتمة

مسألة مونتي هول مثال واضح على مسألة احتمال تخدع الحدس لكنها بسيطة منطقيًا.
عندما نحسب أثر المعلومات التي يقدمها المقدم، يظهر أن استراتيجية التبديل هي الرابحة دائمًا.
باستخدام المحاكاة في Excel أو الأداة التي نوفرها عبر المتصفح يمكنك اختبار هذا بنفسك.

جرّب بيدك وتجاوز الهوة بين الإحساس والبرهان. التجربة متاحة هنا → Monty Hall Simulator

ملحق (مذكرة قديمة)

توصلتُ أثناء تجاربي إلى حدس مفاده أن التبديل يشبه امتلاك خيار اختيار بابين منذ البداية. أعيد تحرير تلك الملاحظات هنا مع تطويرها.

من المثير أن انتشار المسألة جاء في أواخر الثمانينيات بالولايات المتحدة عندما نشرتها مجلة Parade. تلقى المحررون أكثر من عشرة آلاف رسالة تؤكد أن الاحتمال 1/2، بينها مئات من أساتذة جامعات ومتخصصين في الإحصاء. حتى الخبراء يمكن أن يضلهم الحدس.

هذه القصة تذكرنا بأن مسألة مونتي هول تكشف حدود البديهة وتعلّمنا قيمة التفكير المنطقي.